分岔结构处双乳液滴的动力学特性研究（下）

2.2 较短内液滴的模式转变规律

定义内外液滴的初始长度为 Li、Lo，通过主通道宽度进行无量纲化，得到内、外液滴无量纲长度Li/w 和 Lo/w。当内液滴初始长度为一个较小值Li/w=1.04 ， 并 固 定 毛 细 数 为 Cai=1.88×10-2 和Cao=1.09×10-2 时，随着外液滴长度从 Lo/w=2.54 增加到 Lo/w=2.85，双乳液滴的流动模式从不分裂转变为一次分裂。图 3 显示了两种模式下的界面演化过程，根据颈部宽度和延伸长度等特征参数的变化特性，将不分裂模式下的液滴运动过程划分为挤压、过渡和恢复三个阶段，将一次分裂模式下的液滴运动过程划分为挤压、过渡和断裂三个阶段。图 4 给出了无量纲特征参数随时间的定量演化情况。特征参数包括：外液滴延伸长度 lo、内液滴延伸长度 li、外颈部宽度 δo、内颈部宽度 δi 和间隙宽度 d，示意图如图 3（a）所示。由于挤压力、剪切力与间隙宽度呈反比，如果内液滴偏移，内液滴偏移的反方向的间隙宽度更大，对受力的影响更大，本文重点关注挤压力、剪切力与界面张力对液滴运动行为的影响，因此选取内液滴远离一侧的间隙宽度；而当内液滴不偏移时，液滴两侧间隙宽度基本一致，选取液滴两侧间隙宽度的平均值。所有与长度相关的量均通过主通道宽度 w 进行无量纲化，时间通过 w/U 进行无量纲化，定义无量纲时间为T=Ut/w，将双乳液滴完全进入分岔结构处的时刻定义为初始时间 T=0。由于液滴初始长度不同，为了更加直接地比较延伸速率，采用液滴延伸长度的增量 Δlo 和 Δli，表示液滴瞬时长度在任意时刻与初始时刻之间的差值。

图 3 不同外液滴长度下的界面演化

对于不分裂模式（Lo/w=2.54），双乳液滴在挤压阶段仍然会发生变形，内、外液滴均沿分支通道方向延伸，如图 3（a）所示，由于内、外液滴体积固定，颈部宽度随着延伸逐渐减小。而内液滴体积较小、曲率大、界面张力大，内液滴进入 T 形分岔结构后始终保持完整，并且颈部宽度变化较小，所以没有对内液滴颈部宽度的变化过程展开详细讨论。当 T=0.66 时，运动过程进入过渡阶段，外液滴与通道壁面之间开始形成间隙并且间隙宽度逐渐增加，如图 4（d）所示。一部分连续相从间隙流过而非挤压液滴，而且挤压力和剪切力都与间隙宽度的幂次方成反比，因此，驱动力随时间减小，内、外液滴的延伸速率与外液滴的颈缩速率逐渐下降，如图 4（a）-（c）所示。当驱动力降低至无法克服界面张力时，界面张力开始起主导作用，使得内、外液滴无法继续变形，延伸长度和颈部宽度都达到相应的稳定值，并持续一段时间。

图 4 不同外液滴长度下无量纲特征参数的演化情况

在过渡阶段，界面张力与驱动力之间的竞争使得内液滴末端之间逐渐形成曲率差，由此引发的张力梯度驱动内液滴向曲率较小的方向完成横向偏移。在内液滴的影响下，外液滴会跟随内液滴向相同的方向移动，如图 3（a）所示。此外，外液滴内部的流动还会挤压颈部，使得颈部宽度在 T=2.34 之后开始增加（图 4（c）），表明运动过程进入恢复阶段。随着整体向支路的偏移，内、外液滴的延伸长度和颈部都逐渐恢复至接近初始状态。需要注意的是，内液滴从最大延伸长度开始恢复的时刻明显早于外液滴，表明外液滴的恢复受到内液滴的影响。对于一次分裂模式（Lo/w=2.85），内液滴的演变过程与不分裂模式的类似，不同的是外液滴会发生分裂，如图 3（b）所示。从图 4 可以看出，挤压阶段中两种模式的延伸速率以及外液滴颈部的缩减速率几乎一致，但随着间隙的出现，一次分裂模式的延伸速率明显大于不分裂模式的延伸速率。由于外液滴长度的增加，间隙出现时间 T=1.03 明显比不分裂模式下的出现时间 T=0.66 晚，并且间隙宽度增加的速度较慢，如图 4（d）所示。因此，界面受到的驱动力也增加，内、外液滴延伸速率和颈部宽度的缩减速率较大。这也导致显著不同的结果，由于外液滴发生持续变形，即使受到内液滴影响而产生横向偏移，外液滴仍然会在 Rayleigh–Plateau 不稳定性的作用下发生分裂。当 T=1.78 时，运动过程进入断裂阶段，颈部缩减速度突然增加，界面发生快速断裂，颈部断裂产生的巨大压力使内液滴快速恢复至初始状态。

2.3 较长内液滴的模式转变规律

当内液滴 的初始 长 度 保 持 在 一 个 较 大 值Li/w=1.6 ， 并 固 定 毛 细数为 Cai=2.50×10-2 和Cao=1.46×10-2 时，随着外液滴长度的增加，流动模式从不分裂转变为二次分裂，如图 5 所示。不同外液滴长度下无量纲特征参数的演化情况如图 6 所示。

图 5（a）中的不分裂模式与图 3（a）所示的情况非常相似，双乳液滴的演变过程依然可以分为挤压、过渡和恢复三个阶段，特征参数的演化过程也基本一致，此处不再赘述。随着外液滴长度的增加，间隙宽度减小，甚至可能呈现如图 5（b）和 6（d）所示的一直为零的结果，即液滴处于阻塞状态。此时连续相施加的挤压力足以克服内、外液滴的界面张力，因此，内、外液滴以近似恒定速度向支路方向持续延伸，直至最终断裂，如图 6（a）和（b）所示。

在挤压阶段，内、外液滴尾部之间存在初始间距，而外液滴颈部的缩减速率大于内液滴，使得界面之间的距离不断减小，如图 6（c）所示。当 T=0.5时，运动过程进入过渡阶段，界面之间的距离达到最小。由于界面间相互作用，施加在外界面上的驱动力推动内、外界面一起减薄，导致外液滴的缩减速度减小，内液滴的缩减速度增加，内、外液滴尾部之间的间距不断减小，导致内、外颈部的减薄过程逐渐重合，这与 Liu 等的结果相似。当 T=1.25时，运动过程进入断裂阶段，由于 Rayleigh–Plateau不稳定性，内、外液滴颈部都发生快速断裂。

图 5 不同外液滴长度下的界面演化

图 6 不同外液滴长度下无量纲特征参数的演化情况

2.4 通道结构对模式转变的影响

对比前两节的结果可知，双乳液滴在分岔结构运动时，内外液滴之间可能会存在相互作用，并且作用的结果依赖于液滴的初始长度和毛细数等参数，使得双乳液滴表现出不同的流动模式。下面通过这些关键参数建立流动模式的分布图，并从整体上分析模式间的转变规律。

针对单乳液滴，现有研究已经建立了较为完善的流动模式转变理论，利用毛细数 Ca 和无量纲液滴长度 L/w 可以定量确定液滴分裂的临界条件，表示为幂函数关系式 L/w=εCaη，式中，ε 和 η 为无量纲的拟合参数。如图 7 所示，通过外液滴或内液滴的毛细数和初始长度，可以分别建立对应分裂的临界条件。其中，数据点为 T 形分岔结构中的实验结果，分别表征不分裂模式（NB）、一次分裂模式（OB）、二次分裂模式（TB），蓝色实线为对应的临界阈值线，分别表示为 Lo/w=0.79Cai-0.25 和Li/w=0.5Cai-0.5。可以发现，当毛细数固定时，增加液滴长度更有利于分裂，这与前面展示的结果是一致的。此外，如图中的黑色虚线所示，Y 形分岔结构中的分裂阈值线分别表示为 Lo/w=0.73Cai-0.25 和Li/w=0.42Cai-0.5。通过对比可知，Y 形分岔结构中的液滴更容易发生分裂，这主要是因为 Y 形分岔结构中尖角对界面变形的促进作用。另一方面，尖角使得液滴发生横向偏移的阻力更大，由图 5 可知，当液滴保持在分岔结构的中间位置时，颈部缩减速度更大，更易于液滴的分裂。

图 7 双乳液滴分裂临界阈值

为了更直观地展示流动模式的分布及控制参数的影响，可以利用内、外液滴所涉及的 4 个控制参数建立如图 8 所示的分布图，其中的数据点与图 7中的数据相同，为 T 形分岔结构中的实验结果。水平线代表外液滴分裂的临界线，表征作用在外界面上的驱动力；竖直线代表内液滴分裂的临界条件，表征作用在内界面上的驱动力。颜色所对应的结构与图 7 保持一致，蓝色实线代表 T 形结构，黑色虚线代表 Y 形结构。

图 8 双乳液滴流动模式分布图

毛细数较小时，即图 8 中的左下角区域，较小的驱动力无法克服界面张力，因此呈现不分裂模式（NB）。随着外液滴长度增加，即图 8 中的左上角区域，外液滴分裂所需要克服的界面张力减小，并且间隙减小导致驱动力增加，因此外液滴可以分裂；然而内液滴较大的界面张力仍然无法被克服，最终呈现一次分裂模式（OB）。当内液滴长度也增加时，即图 8 中的右上角区域，其界面张力也更加容易被克服，因此内、外液滴都发生分裂，呈现二次分裂模式（TB）。需要说明的是，右下角区域不分布任何数据点，因为外液滴对内核液滴的包裹，物理上不可能出现内液滴发生分裂而外液滴完好无损的现象。此外，T 形分岔通道的分裂临界线总是比 Y 形通道的要高，表明了 Y 形分岔结构对液滴分裂的促进作用。总之，三种模式被很好的划分在不同的区域，并且模式之间的转变规律非常清楚，表明了图8 建立的分布图的有效性。

3 结论

本文通过实验研究了 T 形和Y形两种分岔结构中的双乳液滴运动特性，划分了二次分裂、一次分裂以及不分裂三种流动模式。随着外液滴长度的增加，确定了两种流动模式转变规律，当内液滴长度较小时，从不分裂转变为一次分裂；当内液滴长度较大时，从不分裂转变为二次分裂。模式转变的原因是液滴长度增加后界面受力的增大，使液滴更容易发生分裂，通过液滴初始长度和毛细数可以定量表示分裂的临界阈值，并建立 4 个控制参数决定的流动模式分布图。相比于 T 形结构，Y 形结构的尖角更有利于液滴界面的变形，有助于分裂。本研究有助于进一步加深对微尺度多相流动机理的理解，为调整双乳液滴的尺寸、壳厚、多分散性等特性提供技术指导。

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